Estimation Sous Restriction De Forme Et Application A La Fiabilite Tests De Validation D Un Modele Parametrique Pour Un Processus De Poisson Non Homogene

Estimation sous restriction de forme et application a la fiabilite. Tests de validation d'un modele parametrique pour un processus de poisson non homogene

ESTIMATION SOUS RESTRICTION DE FORME ET APPLICATION A LA FIABILITE.

CETTE THESE COMPORTE DEUX PARTIES DISTINCTES RELATIVES A LA MISE EN OEUVRE ET A LA VALIDATION DE MODELES STATISTIQUES UTILISES EN FIABILITE. DANS UN PREMIER TEMPS, NOUS PROPOSONS UNE METHODE D'ESTIMATION NON PARAMETRIQUE SOUS RESTRICTION DE FORME : IL S'AGIT D'ESTIMER DES FONCTIONS UNIMODALES (RESP. ADMETTANT UNE COURBE EN FORME DE U). ETANT DONNEE UNE FONCTION G INCONNUE DE PRIMITIVE G ET UN ESTIMATEUR EN ESCALIER $G DE G, L'ESTIMATEUR $G DE G EST DEFINI COMME LA DERIVEE DE LA FONCTION CONVEXE PUIS CONCAVE (RESP. CONCAVE PUIS CONVEXE) LA MIEUX AJUSTEE A $G. NOTRE ESTIMATEUR EST CONSTRUIT A PARTIR DES DONNEES A L'AIDE D'UN ALGORITHME SIMPLE. NOUS ETABLISSONS UN CONTROLE DE SON RISQUE NON-ASYMPTOTIQUE EN NORME L#1, QUI PERMET DE RELIER SES PROPRIETES A CELLES DE $Z = $G G. SOUS DES HYPOTHESES CONVENABLES SUR $Z, NOUS MONTRONS QUE $G SE COMPORTE APPROXIMATIVEMENT COMME LE MEILLEUR HISTOGRAMME DE G. L'ADAPTATIVITE ET LA SIMPLICITE DE CONSTRUCTION DE NOTRE ESTIMATEUR LUI CONFERENT UNE SUPERIORITE SUR LES METHODES CLASSIQUES D'ESTIMATION PAR HISTOGRAMME OU PAR NOYAU AVEC PARAMETRE FIXE, EN L'ABSENCE D'HYPOTHESE DE REGULARITE SUR G OU DANS DES CADRES NON-ASYMPTOTIQUES. ENTRE AUTRES APPLICATIONS DE CES RESULTATS, NOUS ETUDIONS L'ESTIMATION DU TAUX DE PANNE AVEC ET SANS CENSURE ET DE L'INTENSITE D'UN PROCESSUS DE POISSON, FONCTIONS POUR LESQUELLES L'HYPOTHESE D'UNE COURBE EN U EST SOUVENT PLUS NATURELLE QUE DES HYPOTHESES DE REGULARITE. DANS LA DEUXIEME PARTIE DE CETTE THESE, NOUS PRESENTONS DES TESTS DE VALIDATION DE MODELES PARAMETRIQUES DE PROCESSUS DE POISSON. NOUS CONSIDERONS DES STATISTIQUES DE TYPE KOLMOGOROV-SMIRNOV DONT NOUS ETUDIONS LE COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE SOUS L'HYPOTHESE D'ADEQUATION AU MODELE TESTE. NOUS EN DEDUISONS DES FORMULES D'APPROXIMATION DES QUANTILES DE TEST, QUI DOIVENT ETRE VALIDEES NUMERIQUEMENT DANS CHAQUE CAS PARTICULIER. NOUS LES ETUDIONS SUR UN MODELE CLASSIQUEMENT UTILISE EN FIABILITE.

Estimation par tests

Cette thèse porte sur l'estimation de fonctions à l'aide de tests dans trois cadres statistiques différents. Nous commençons par étudier le problème de l'estimation des intensités de processus de Poisson avec covariables. Nous démontrons un théorème général de sélection de modèles et en déduisons des bornes de risque non-asymptotiques sous des hypothèses variées sur la fonction à estimer. Nous estimons ensuite la densité de transition d'une chaîne de Markov homogène et proposons pour cela deux procédures. La première, basée sur la sélection d'estimateurs constants par morceaux, permet d'établir une inégalité de type oracle sous des hypothèses minimales sur la chaîne de Markov. Nous en déduisons des vitesses de convergence uniformes sur des boules d'espaces de Besov inhomogènes et montrons que l'estimateur est adaptatif par rapport à la régularité de la densité de transition. La performance de l'estimateur est aussi évalué en pratique grâce à des simulations numériques. La seconde procédure peut difficilement être implémenté en pratique mais permet d'obtenir un résultat général de sélection de modèles et d'en déduire des vitesses de convergence sous des hypothèses plus générales sur la densité de transition. Finalement, nous proposons un nouvel estimateur paramétrique d'une densité. Son risque est contrôlé sous des hypothèses pour lesquelles la méthode du maximum de vraisemblance peut ne pas fonctionner. Les simulations montrent que ces deux estimateurs sont très proches lorsque le modèle est vrai et suffisamment régulier. Il est cependant robuste, contrairement à l'estimateur du maximum de vraisemblance.