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Sur l'application de quelques méthodes d'éléments finis à la résolution d'un problème d'élasticité incompressible non linéaire

Méthodes mixtes et traitement de verrouillage numérique pour la résolution des inéquations variationnelles

Dans ce travail, nous présentons l'analyse mathématique et numérique d'une classe de problèmes unilatéraux où intervient de façon singulières un petit paramètre positif et pour lesquels la résolution numérique directe peut induire un phénomène de verrouillage numérique. Plus précisément, nous étendons aux inéquations variationnelles certaines méthodes robustes, dont l'efficacité est vérifiée dans le cas des équations variationnelles ; ce sont principalement les méthodes conformes ou non et les méthodes mixtes. Dans un cadre général, nous donnons des conditions suffisantes sur le problème discret primal à utiliser qui permettent d'avoir une convergence uniforme par rapport au petit paramètre. L'application de ces résultats généraux montre que la discrétisation du problème de transmission raide de Signorini par les éléments finis de degré peu élevé, conformes sur des maillages adaptés ou non conformes sur des maillages quelconques, conduit à des méthodes sans verrouillage. Ce que confirment les résultats numériques. La suite du travail est consacrée à la résolution des problèmes unilatéraux par les méthodes mixtes. Nous donnons un cadre abstrait, comprenant les formulations mixtes duales du problème de Signorini et celle de contact unilatéral en élasticité avec ou sans frottement. Sous des conditions, qui étendent celles de Brezzi aux inéquations variationnelles, nous établissons des résultats d'existence, d'unicité et de stabilité. Nous donnons aussi des résultats de convergence et des estimations d'erreur dans le cadre d'approximation du problème. L'application de cette étude à l'approximation mixte duale du problème de Signorini et à l'approximation mixte du problème de contact unilatéral en élasticité incompressible avec ou sans frottement, nous permet d'établir des résultats de convergence uniforme pour ces schémas.

Méthodes d'éléments finis en élasticité incompressible non linéaire et diverses contributions à l'approximation des problèmes aux limites

Cette thèse se compose d'un ensemble d'articles dans lesquels on a cherché à apporter une réponse à un certian nombre de questions ouvertes dans le domaine de la résolution numérique de problèmes aux limites par la méthode des éléments finis.