D Finition Et R Solution Num Rique D Un Probl Me De Contr Le Optimal Pour Un Syst Me Perturb Gouvern Par Des Quations Aux D Riv Es Partielles Mod Le Min Max
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Définition et résolution numérique d'un problème de contrôle optimal pour un système perturbé gouverné par des équations aux dérivées partielles (modèle min-max)
On présente la résolution d'un problème de commande optimale pour un système perturbe par des équations aux dérivées partielles elliptiques. La commande et la perturbation interviennent au second membre de l'équation d'état; le critère est une fonction quadratique de l'état et du contrôle. On donne un résultat d'existence et d'unicité de la commande optimale. Dans une première partie on s'attache à l'étude du problème continu. La deuxième partie est consacrée à la résolution numérique du problème de commande
Predictive Representations for Sequential Decision Making Under Uncertainty
La prise de décision est un problème omniprésent qui survient dés qu'on fait face à plusieurs choix possibles. Ce problème est d'autant plus complexe lorsque les décisions, ou les actions, doivent être prise d'une manière séquentielle. En effet, l'exécution d'une action à un moment donné entraîne un changement à l'environnement, ou au système qu'on veut contrôler, et un tel changement ne peut pas être prévu avec certitude. Le but d'un processus de prise de décision consiste alors à choisir des actions en vue de se comporter d'une manière optimale dans un environnement incertain. Afin d'y parvenir, l'environnement est souvent modélisé comme un système dynamique à plusieurs états, et les actions sont choisies d'une telle manière à ramener le système vers un état désirable. Dans le cadre de cette thèse, nous avons proposé un ensemble de modèles stochastiques et d'algorithmes, afin d'améliorer la qualité du processus de prise de décision sous l'incertain. Les modèles développés sont une alternative aux Processus Décisionnels de Markov (MDPs), un cadre formel largement utilisé pour ce genre de problèmes. En particulier, nous avons montré que l'état d'un système dynamique peut être représenté d'une manière plus concise lorsqu'il est décrit en termes de prédictions de certains événements dans le futur. Nous avons aussi montré que le processus cognitif même du choix d'actions, appelé politique, peut être vu comme un système dynamique. Partant de cette observation, nous avons proposé une panoplie d'algorithmes, tous basés sur des représentations prédictives de politiques, pour résoudre différents problèmes de prise de décision, tels que la panification décentralisée, l'apprentissage par renforcement, ou bien encore l'apprentissage par imitation. Nous avons montré analytiquement et empiriquement que les approches proposées mènent à des réductions de la complexité de calcul et à une amélioration de la qualité des solutions par rapport aux approches d'apprentissage et de planification standards.
OPTIMISATION DE FORME POUR LE CONTROLE OPTIMAL DE SYSTEMES GOUVERNES PAR DES EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES
CETTE THESE EST CONSACREE A L'ANALYSE DE PLUSIEURS PROBLEMES D'OPTIMISATION ASSOCIES A L'EQUATION DES ONDES ET A SA VERSION STATIONNAIRE. DANS LE CHAPITRE 2, ON TRAITE D'ABORD UN PROBLEME DE CONTROLE OPTIMAL DE L'EQUATION DES ONDES LINEAIRE, LE CONTROLE ETANT DISTRIBUE SUR UN SOUS-ENSEMBLE DONNE ET INCLUS DANS LE DOMAINE SUR LEQUEL EST ECRITE L'EQUATION D'ETAT. L'EXISTENCE ET L'UNICITE D'UN CONTROLE OPTIMAL SONT OBTENUES PAR DES ARGUMENTS CLASSIQUES DE LA THEORIE DU CONTROLE. DANS LE CAS STATIONNAIRE, ON PROUVE QUE LE CONTROLE OPTIMAL COINCIDE AVEC L'ETAT OPTIMAL ASSOCIE. LE SYSTEME D'OPTIMALITE SE REDUIT ALORS A UNE EQUATION SCALAIRE ELLIPTIQUE. DANS LE CHAPITRE 3, ON SE CONSACRE A L'ETUDE DE DEUX PROBLEMES D'OPTIMISATION DE FORME ASSOCIES A UNE EQUATION ELLIPTIQUE DANS LAQUELLE LE SUPPORT DU CONTROLE VARIE DANS UN ENSEMBLE ADMISSIBLE DE PARTIES MESURABLES. QUAND CELLES-CI SONT SOUMISES A UNE CONTRAINTE DE PERIMETRE, UN ARGUMENT DE COMPACITE PERMET DE PROUVER L'EXISTENCE D'UN DOMAINE OPTIMAL I.E. QUI MINIMISE UNE FONCTIONNELLE REPRESENTANT L'ENERGIE DU SYSTEME. LORSQUE LA CONTRAINTE PORTE SUR LE VOLUME, ON INTRODUIT UNE FORMULATION RELAXEE POUR LAQUELLE ON A EXISTENCE D'UN ELEMENT OPTIMAL QUI N'EST PLUS, EN GENERAL, UN DOMAINE. ON DONNE UNE CARACTERISATION DE CE MINIMISEUR AINSI QUE DES CONDITIONS SUFFISANTES SUR LES DONNEES (SECOND MEMBRE DE L'EQUATION) POUR QUE CET ELEMENT OPTIMAL SOIT UN DOMAINE. LE CHAPITRE 4 REPREND L'ETUDE PRECEDENTE DANS LE CAS RADIAL. ON Y DONNE DES RESULTATS D'EXISTENCE DE SOLUTIONS (DOMAINE OU NON) EN UTILISANT LES CONDITIONS D'OPTIMALITE ETABLIES AU CHAPITRE 3 AINSI QUE DES ARGUMENTS DE SYMETRISATION. LE CHAPITRE 5 DEVELOPPE UN TRAITEMENT NUMERIQUE DU PROBLEME RELAXE SOUS CONTRAINTE DE VOLUME. L'ALGORITHME UTILISE FAIT UN USAGE INTENSIF DES CONDITIONS NECESSAIRES ET SUFFISANTES D'OPTIMALITE ET FOURNIT A MOINDRE COUP LA FORME ET LA LOCALISATION DE LA SOLUTION LORSQUE C'EST UN DOMAINE. DANS LE DERNIER CHAPITRE, ON S'INTERESSE AU CHOIX OPTIMAL DU COEFFICIENT D'AMORTISSEMENT DANS L'EQUATION (LINEAIRE) DES ONDES AMORTIES. LES CRITERES CONSIDERE SON L'ENERGIE TOTALE DU SYSTEME ET SON SUPREMUM SUR L'ESPACE D'ENERGIE. LORSQUE CELLE-CI EXISTE, ON ANALYSE LA DEPENDANCE DE LA SOLUTION OPTIMALE VIS-A-VIS DES CONDITIONS INITIALES. ON PEUT AINSI EXHIBER EXPLICITEMENT UNE CLASSE DE CONDITIONS INITIALES POUR LAQUELLE LE MEILLEUR COEFFICIENT D'AMORTISSEMENT CONSTANT EST OPTIMAL.